引例

What is mm triad?
Given a Bernoulli model, what is the probability of continuous mm triad in a pentad polystyrene segment?

（在伯努利统计模型下，聚苯乙烯的五单元组（pentad）链段中，出现连续mm三单元组的概率是多少？）

在高分子立构规整性的表征中，用m（meso，内消旋） 和 r（racemo，外消旋） 描述相邻两个手性单体单元的相对构型：

三单元组（triad） 是3个连续的单体单元构成的立构序列，由2个相邻的m/r二单元组（dyad）定义。 mm triad（mm三单元组，也叫全同三单元组），指3个连续单体单元中，相邻的两对单体都为m构型，对应3个连续的手性中心构型完全相同，是全同立构聚合物的特征序列。

伯努利模型核心假设是：每一步单体加成形成m或r构型的概率相互独立，不受前一步加成结果的影响。

定义：

一个mm triad需要2个连续的m二单元组，在含4个二单元组的五单元组中，mm triad的可能出现位置有3种：

计算五单元组中至少出现1个连续mm triad的概率，记为$P$。

至少一个事件发生的概率为：

\[ \begin{aligned} P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B \cap C) \end{aligned} \]

分别计算每一项： 1. 单个事件的概率伯努利模型下构型独立，因此：

$P(A) = P(d_1=m) \cdot P(d_2=m) = P_m^2$

$P(A)+P(B)+P(C) = 3P_m^2$

两个事件交集的概率
$P(A\cap B)$：$A、B$同时发生，即$d_1=d_2=d_3=m$，概率为 $P_m^3$
$P(B\cap C)$：$B、C$同时发生，即$d_2=d_3=d_4=m$，概率为 $P_m^3$
$P(A\cap C)$：$A、C$同时发生，即$d_1=d_2=d_3=d_4=m$，概率为 $P_m^4$ 因此 $P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C) = 2P_m^3 + P_m^4$
三个事件交集的概率 $P(A\cap B \cap C)$：$A、B、C$同时发生，即$d_1=d_2=d_3=d_4=m$，概率为 $P_m^4$

将各项代入容斥公式：

\[ \begin{align*} P(A \cup B \cup C) &= 3P_m^2 - (2P_m^3 + P_m^4) + P_m^4 \\ &= \boldsymbol{3P_m^2 - 2P_m^3} \end{align*} \]

对于完全无规的聚苯乙烯，$P_m=P_r=0.5$，代入得： $$ P = 3\times(0.5)^2 - 2\times(0.5)^3 = 0.75 - 0.25 = \boldsymbol{0.5} $$